勾股数

📘 勾股定理·
⭐⭐⭐
·常见勾股数、生成公式

🎯 学习目标

  • 理解勾股数的定义及其与勾股定理的关系
  • 掌握几组常见的勾股数并能快速识别
  • 了解勾股数的生成公式，并能用其构造新的勾股数组合

📚 核心概念

勾股数是指三个正整数 aa、bb、cc，满足勾股定理 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2，其中 cc 是斜边（最长边）。例如，33、44、55 就是一组勾股数，因为 32+42=9+16=25=523^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2。这样的三元组也称为毕达哥拉斯三元组。

勾股数可以是“原始”的（即三个数互质，没有大于1的公因数），也可以是由原始勾股数乘以同一个正整数得到的“非原始”勾股数。比如 6,8,106, 8, 10 是 3,4,53, 4, 5 的2倍，也是勾股数，但不是原始的。

我们还可以通过公式来生成原始勾股数：设 mm 和 nn 是两个正整数，且 m>nm > n，mm 与 nn 互质，一奇一偶，则以下三式构成一组原始勾股数：

a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2

例如，取 m=2m=2, n=1n=1，则 a=3a=3, b=4b=4, c=5c=5，正好是我们熟悉的那组。

📝 关键公式

  • 勾股定理：若 a,b,ca, b, c 为直角三角形三边（cc 为斜边），则 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2。
    示例：52+122=25+144=169=1325^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2，所以 5,12,135,12,13 是勾股数。

  • 勾股数生成公式（m>n>0m>n>0，m,nm,n 互质且一奇一偶）：

a=m2−n2,b=2mn,c=m2+n2 a = m^2 - n^2,\quad b = 2mn,\quad c = m^2 + n^2

示例：取 m=3m=3, n=2n=2，得 a=5a=5, b=12b=12, c=13c=13，即 5,12,135,12,13。

💡 经典例题

例题1：判断 8,15,178, 15, 17 是否为勾股数。
解：

  1. 先确定最大数为 1717，假设它是斜边。
  2. 计算 82+152=64+225=2898^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289。
  3. 计算 172=28917^2 = 289。
  4. 因为 82+152=1728^2 + 15^2 = 17^2，所以这是一组勾股数。

例题2：用生成公式构造一组新的原始勾股数（不同于 3,4,53,4,5 和 5,12,135,12,13）。
解：

  1. 选择满足条件的 mm 和 nn：取 m=4m=4, n=1n=1（互质，一奇一偶，且 m>nm>n）。
  2. 计算：
    • a=m2−n2=16−1=15a = m^2 - n^2 = 16 - 1 = 15，
    • b=2mn=2×4×1=8b = 2mn = 2 \times 4 \times 1 = 8，
    • c=m2+n2=16+1=17c = m^2 + n^2 = 16 + 1 = 17。
  3. 得到勾股数 8,15,178, 15, 17（顺序可调），验证：82+152=64+225=289=1728^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2，成立。

⚠️ 易错点

  • 误认为任意满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 的数都是整数：勾股数特指正整数，小数或无理数不算。应检查是否全为整数。
  • 忽略顺序：勾股数中 cc 必须是最大的数（斜边），不能把较小的数当成 cc。解题时先找出最大值再验证。
  • 混淆原始与非原始勾股数：如 6,8,106,8,10 虽是勾股数，但不是原始的。使用生成公式时只能得到原始勾股数。
  • 使用生成公式时不满足条件：若 mm 和 nn 同奇偶或不互质，可能得到非原始甚至错误结果。务必确保 m>nm>n、互质、一奇一偶。

💡 例题

1

一个直角三角形的两条直角边长度是两个连续的整数，斜边长为29单位。这两条直角边的长度之和是多少？

  1. 设较短的直角边长为xx。
  2. 则较长的直角边长为x+1x + 1。
  3. 根据勾股定理，列出方程：x2+(x+1)2=292x^2 + (x + 1)^2 = 29^2。
  4. 展开左边：(x+1)2(x + 1)^2，得 x2+x2+2x+1=841x^2 + x^2 + 2x + 1 = 841。
  5. 整理得：.Thiscanbesimplifiedto. This can be simplified to 。
  6. 两边同除以2：,or, or 。
  7. 移项得：.Factoringout. Factoring out 。
  8. 因式分解：ontheleft,wecanrewriteitason the left, we can rewrite it as。
  9. 即：.Inotherwords,theproductofthesetwoconsecutivenumbersis420,whichmeanstheymusteachbeclosetothesquarerootof420.Indeed,. In other words, the product of these two consecutive numbers is 420, which means they must each be close to the square root of 420. Indeed, 。
  10. 因为,sothelegsmustbe20and21.Theirsumis, so the legs must be 20 and 21. Their sum is ，所以较短边是20，较长边是21，两直角边之和为 20+21=4120 + 21 = \boxed{41}。
2

在三角形ABC, ABC,\,中，角CC是直角，从点C C\,向边AB‾ \overline{AB}\,作垂线，垂足为D. D.\,。三角形△ABC \triangle ABC\,的三边长都是整数，且其中一条直角边长为BD=293, BD=29^3,\,，另一条直角边长为cos⁡B=m/n \cos B=m/n\,，其中m m\,和n n\,是互质的正整数。求m+n. m+n.\,。

  1. 因为△ABC∼△CBD\triangle ABC \sim \triangle CBD，所以BCAB=293BC⟹BC2=293AB\frac{BC}{AB} = \frac{29^3}{BC} \Longrightarrow BC^2 = 29^3 AB。
  2. 由此得292∣BC29^2 | BC和29∣AB29 | AB，所以BCBC和ABAB可分别设为292x29^2 x和29x229 x^2，其中x是整数。
  3. 根据勾股定理，得AC2+BC2=AB2⟹(292x)2+AC2=(29x2)2AC^2 + BC^2 = AB^2 \Longrightarrow (29^2x)^2 + AC^2 = (29 x^2)^2，即29x∣AC29x | AC。
  4. 令y=AC/29xy = AC / 29x，两边同除以(29x)2(29x)^2，得292=x2−y2=(x−y)(x+y)29^2 = x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)。
  5. 因为x,y∈Zx,y \in \mathbb{Z}，所以29229^2的因数对有(1,292)(29,29)(1,29^2)(29,29)；显然y=AC29x≠0y = \frac{AC}{29x} \neq 0，故x−y=1,x+y=292x-y = 1, x+y= 29^2。
  6. 于是x=1+2922=421x = \frac{1+29^2}{2} = 421。
  7. 所以cos⁡B=BCAB=292x29x2=29421\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{29^2 x}{29x^2} = \frac{29}{421}，且m+n=450m+n = \boxed{450}。