在整式的加减中，多项式是由若干个单项式相加组成的代数式。例如：$3x^2 - 5x + 7$ 就是一个多项式。

• 项：多项式中的每一个单项式叫做这个多项式的项。比如上面的例子中有三项：$3x^2$、$-5x$ 和 $+7$。注意，项包括它前面的符号。
• 次数：一个多项式的次数是指其中次数最高的项的次数。单项式的次数是所有字母的指数之和。例如，$3x^2$ 的次数是 2，$-5x$ 的次数是 1，而常数项（如 7）的次数是 0。因此，多项式 $3x^2 - 5x + 7$ 的次数是 2。
• 常数项：不含字母的项叫做常数项，它的值固定不变。例如，在 $4x^3 - 2x + 9$ 中，9 就是常数项。

特别注意：单独的一个数（如 5）或一个字母（如 $x$）也可以看作多项式。例如，5 是一个零次多项式，只有一个常数项；$x$ 是一次多项式，有一项且次数为 1。

• 多项式的项：多项式 $a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0$ 中的每一部分（如 $a_2x^2$）都是一个项。
  • 示例：$2x^2 - 3x + 1$ 的项是 $2x^2$、$-3x$、$1$。
• 单项式的次数：单项式中所有字母的指数之和。
  • 示例：$-4x^3y^2$ 的次数是 $3 + 2 = 5$。
• 多项式的次数：所有项中次数最高的那个次数。
  • 示例：多项式 $x^4 - 2x^2 + 5$ 的次数是 4。
• 常数项：不含字母的项。
  • 示例：在 $-x^2 + 6x - 8$ 中，常数项是 $-8$。

例题1：指出多项式 $5x^3 - 2x + 9$ 的项、次数和常数项。

解：

1. 找项：注意带上符号，三项分别是 $5x^3$、$-2x$、$+9$。
2. 确定每项的次数：
   • $5x^3$ 的次数是 3，
   • $-2x$ 的次数是 1，
   • $9$ 是常数项，次数是 0。
3. 多项式的次数：最高次数是 3，所以该多项式是三次多项式。
4. 常数项：不含字母的项是 $9$。

答：项为 $5x^3$、$-2x$、$9$；次数为 3；常数项为 9。

例题2：多项式 $-x^4 + 3x^2 - x + \frac{1}{2}$ 中，哪些是项？次数是多少？常数项是什么？

解：

1. 项（带符号）：$-x^4$、$+3x^2$、$-x$、$+\frac{1}{2}$。
2. 各次项的次数：
   • $-x^4$ 次数为 4，
   • $3x^2$ 次数为 2，
   • $-x$ 次数为 1，
   • $\frac{1}{2}$ 是常数项，次数为 0。
3. 多项式次数：最高次数是 4。
4. 常数项：$\frac{1}{2}$。

答：项为 $-x^4$、$3x^2$、$-x$、$\frac{1}{2}$；次数为 4；常数项为 $\frac{1}{2}$。

• 忽略项的符号：学生常把 $-2x$ 看成“2x”，记住项包括前面的“+”或“−”。
• 误认为常数项没有次数：其实常数项的次数是 0，不是“没有次数”。
• 混淆单项式次数与多项式次数：多项式的次数是“最高项的次数”，不是所有次数相加。
• 把数字系数当成常数项：只有不含字母的项才是常数项，如 $3x$ 中的 3 是系数，不是常数项。
• 漏掉隐含项：例如 $x^2 + 1$ 实际上有三项吗？不，只有两项：$x^2$ 和 $1$，中间没有 $x$ 项就不存在该项。