三角形的内角和

📘 三角形·
⭐⭐
·180度定理、证明

🎯 学习目标

  • 理解三角形内角和为180度的基本定理
  • 掌握通过平行线性质证明三角形内角和的方法
  • 能运用内角和定理解决简单角度计算问题

📚 核心概念

三角形的内角和是指一个三角形三个内角的度数之和。无论三角形是锐角、直角还是钝角三角形，其内角和恒等于180度。这个结论被称为“三角形内角和定理”。

我们可以用平行线的性质来证明这一点。例如，在△ABC中，过顶点A作一条直线DE，使其平行于边BC。根据平行线的性质：

  • ∠DAB = ∠ABC（内错角相等）
  • ∠EAC = ∠ACB（内错角相等）

而∠DAB + ∠BAC + ∠EAC 构成一条直线上的平角，即：

∠DAB+∠BAC+∠EAC=180∘\angle DAB + \angle BAC + \angle EAC = 180^\circ

将上面两个等量代换代入，就得到：

∠ABC+∠BAC+∠ACB=180∘\angle ABC + \angle BAC + \angle ACB = 180^\circ

因此，任意三角形的三个内角之和都是 180∘180^\circ。这个定理是后续学习多边形内角和、解三角形等问题的基础。

📝 关键公式

  • 三角形内角和定理：在任意三角形中，三个内角之和为 180∘180^\circ。

    • 示例：若一个三角形有两个角分别是 50∘50^\circ 和 60∘60^\circ，则第三个角为 180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ。

  • 已知两角求第三角公式：若已知三角形的两个内角 ∠A\angle A 和 ∠B\angle B，则第三个角 ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B。

    • 示例：若 ∠A=30∘\angle A = 30^\circ，∠B=90∘\angle B = 90^\circ，则 ∠C=180∘−30∘−90∘=60∘\angle C = 180^\circ - 30^\circ - 90^\circ = 60^\circ。

💡 经典例题

例题1：在△ABC中，已知∠A = 45°，∠B = 75°，求∠C的度数。

解：

  1. 根据三角形内角和定理，有：
∠A+∠B+∠C=180∘ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ
  1. 代入已知数据：
45∘+75∘+∠C=180∘ 45^\circ + 75^\circ + \angle C = 180^\circ
  1. 计算：
120∘+∠C=180∘ 120^\circ + \angle C = 180^\circ
  1. 解得：
∠C=180∘−120∘=60∘ \angle C = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ

答：∠C = 60°。

例题2：在△DEF中，∠D 是直角，且 ∠E 是 ∠F 的两倍，求 ∠E 和 ∠F 的度数。

解：

  1. 因为 ∠D 是直角，所以 ∠D = 90°。
  2. 设 ∠F = x，则 ∠E = 2x（题目条件）。
  3. 根据内角和定理：
∠D+∠E+∠F=180∘ \angle D + \angle E + \angle F = 180^\circ
  1. 代入得：
90∘+2x+x=180∘ 90^\circ + 2x + x = 180^\circ
  1. 合并同类项：
3x=90∘ 3x = 90^\circ
  1. 解得：
x=30∘ x = 30^\circ
  1. 所以 ∠F = 30°，∠E = 2 × 30° = 60°。 答：∠E = 60°，∠F = 30°。

⚠️ 易错点

  • 误认为不同形状的三角形内角和不同：有些同学觉得钝角三角形“看起来更大”，内角和可能超过180°。实际上，所有三角形内角和都严格等于180°，与形状无关。

  • 计算时忘记单位或漏减：例如已知两个角是50°和60°，错误地直接写第三个角为110°（其实是180°−50°−60°=70°）。建议养成写完整算式的好习惯。

  • 混淆内角与外角：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角之和，但内角和始终是180°。不要把外角当成内角参与计算。

  • 设未知数时关系列错：如例题2中，若设∠E = x，应写∠F = x/2，而不是反过来。要仔细读题，明确倍数关系。

💡 例题

1

如果m∠1=76∘,m∠2=27∘m\angle 1 = 76^{\circ}, m\angle 2 = 27^{\circ}且m∠3=17∘m\angle 3 = 17^{\circ}，那么∠4的度数是多少？

[asy] draw((0,0)--(4,8)--(10,0)--cycle,linewidth(1)); draw((0,0)--(5,3)--(10,0),linewidth(1)); label("2",(1,1.2)); label("1",(4,7.75),S); label("4",(5,3),S); label("3",(8,1.8)); [/asy]

  1. 观察含∠4的三角形，把另外两个角分别记作∠5和∠6。
  2. 根据三角形内角和为180°，得m∠1+m∠2+m∠3+m∠5+m∠6=180∘m\angle1+m\angle2+m\angle3+m\angle5+m\angle6=180^{\circ}，即
m∠5+m∠6=180∘−76∘−27∘−17∘=60∘m\angle5+m\angle6=180^{\circ}-76^{\circ}-27^{\circ}-17^{\circ}=60^{\circ}

。 3. 再看小三角形，根据三角形内角和，得m∠4+m∠5+m∠6=180∘m\angle4+m\angle5+m\angle6=180^{\circ}，所以60∘+m∠4=180∘60^{\circ}+m\angle4=180^{\circ}，即m∠4=120∘m\angle4=\boxed{120^{\circ}}。

2

在三角形ABCABC中，ABAB与ACAC相等，∠ABCABC的度数为72∘72^{\circ}，线段BDBD平分∠ABCABC，点DD在边ACAC上。点EE在边BCBC上，且线段DEDE平行于边ABAB；点FF在边ACAC上，且线段EFEF平行于线段BDBD。图中共有多少个等腰三角形？

  1. 显然，三角形ABCABC是等腰三角形，这是第一个。
  2. 已知∠ABC=∠ACB=72∘\angle ABC = \angle ACB=72^{\circ}，所以∠BAC=180∘−72∘−72∘=36∘\angle BAC = 180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ。
  3. 因为线段BDBD平分∠ABCABC，所以∠ABDABD的度数为72∘/2=36∘72^\circ/2=36^\circ。因此，∠BAD=∠ABD\angle BAD = \angle ABD和△ABD\triangle ABD构成等腰三角形。
  4. 因为△ABD\triangle ABD是等腰三角形，所以m∠ADB=180∘−36∘−36∘=108∘m\angle ADB=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ。于是∠BDC=180∘−108∘=72∘\angle BDC=180^\circ-108^\circ=72^\circ。
  5. 观察三角形BDCBDC，已知其一个角为∠DCB=72∘=∠BDC\angle DCB=72^\circ=\angle BDC度，所以这个三角形是等腰三角形。
  6. 又因为DEDE平行于ABAB，线段BDBD是截线，所以内错角ABDABD与BDEBDE相等，因此m∠ABD=m∠BDE=36∘m\angle ABD=m\angle BDE=36^\circ。又因m∠DBE=36∘m\angle DBE=36^\circ平分∠ABC\angle ABC，所以∠BDBD=∠【MATH_22】，故三角形BDEBDE是等腰三角形。
  7. 观察∠EDFEDF，可知m∠EDF=180∘−m∠BDA−m∠BDE=180∘−108∘−36∘=36∘m\angle EDF=180^\circ-m\angle BDA-m\angle BDE=180^\circ-108^\circ-36^\circ=36^\circ。又因EFEF平行于BDBD，所以内错角∠BDE\angle BDE与∠FED\angle FED相等，因此m∠FED=36∘m\angle FED=36^\circ，三角形DEFDEF是等腰三角形。
  8. 进一步计算得∠EFD=180∘−36∘−36∘=108∘\angle EFD=180^\circ-36^\circ-36^\circ=108^\circ，所以∠∠EFC=180∘−108∘=72∘\angle EFC=180^\circ-108^\circ=72^\circ=【MATH_33】度。由题设知m∠ACB=72∘m\angle ACB =72^\circ，所以△FEC\triangle FEC是等腰三角形，从而∠m∠FEC=180∘−72∘−72∘=36∘m\angle FEC=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ=【MATH_36】度，于是m∠DEC=36∘+36∘=72∘m\angle DEC=36^\circ+36^\circ=72^\circ，最后一个等腰三角形是DECDEC。
  9. 总共找到7\boxed{7}个等腰三角形。

✏️ 练习

1

在图中，∠∠ACB\angle ACB的度数是多少？[asy] size(250); draw((-60,0)--(0,0)); draw((0,0)--(64.3,76.6)--(166,0)--cycle); label("AA",(64.3,76.6),N); label("93∘93^\circ",(64.3,73),S); label("130∘130^\circ",(0,0),NW); label("BB",(0,0),S); label("DD",(-60,0),S); label("CC",(166,0),S); [/asy]

2

一个三角形的三个内角度数之比是5:6:7。这个三角形最小的内角是多少度？

3

有多少个互不相似的三角形，其三个内角的度数是互不相同的正整数，且构成等差数列？