因为$0 \le c \le 1,$，$\sqrt{c} \le 1$且$\sqrt{1 - c} \le 1,$，所以

$$\sqrt{abc} + \sqrt{(1 - a)(1 - b)(1 - c)} \le \sqrt{ab} + \sqrt{(1 - a)(1 - b)}.$$

。 再由均值不等式（AM-GM），

$$\sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2}$$

， 且

$$\sqrt{(1 - a)(1 - b)} \le \frac{(1 - a) + (1 - b)}{2} = \frac{2 - a - b}{2},$$

， 所以

$$\sqrt{ab} + \sqrt{(1 - a)(1 - b)} \le \frac{a + b}{2} + \frac{2 - a - b}{2} = 1.$$

。 当且仅当$a = b = c = 0,$时取等号，因此最大值为$\boxed{1}.$。

1. 设$y = \sqrt{x - 1}.$。
2. 那么$y^2 = x - 1,$，所以$x = y^2 + 1.$。
3. 于是

$$\frac{x + 8}{\sqrt{x - 1}} = \frac{y^2 + 9}{y} = y + \frac{9}{y}.$$

4. 由均值不等式（AM-GM），

$$y + \frac{9}{y} \ge 6.$$

5. 等号成立当且仅当$y = 3,$或$x = 10,$，因此最小值是$\boxed{6}.$。