一元二次方程的一般形式是 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）。当不能用因式分解或配方法简便求解时，我们可以使用公式法。公式法的核心是求根公式：

这个公式适用于所有一元二次方程。公式中的 $b^2 - 4ac$ 被称为判别式，通常用符号 $\Delta$ 表示。判别式决定了方程根的性质：

• 如果 $\Delta > 0$，方程有两个不相等的实数根；
• 如果 $\Delta = 0$，方程有两个相等的实数根（即一个重根）；
• 如果 $\Delta < 0$，方程没有实数根（在初中阶段认为“无解”）。

使用公式法时，首先要将方程整理成标准形式，再准确找出 $a$、$b$、$c$ 的值，代入公式计算。

• 求根公式：$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

  • 示例：方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 中，$a=1, b=-5, c=6$，代入得 $x = \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \dfrac{5 \pm 1}{2}$，所以 $x_1=3, x_2=2$。

• 判别式：$\Delta = b^2 - 4ac$

  • 示例：方程 $2x^2 + 3x + 1 = 0$，$\Delta = 3^2 - 4 \times 2 \times 1 = 9 - 8 = 1 > 0$，有两个不等实根。

例题1：解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$。

解：

1. 确认方程为标准形式，$a=1, b=-4, c=3$。
2. 计算判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 > 0$，有两个不等实根。
3. 代入求根公式：

4. 得到两个解：$x_1 = \frac{4+2}{2} = 3$，$x_2 = \frac{4-2}{2} = 1$。

例题2：解方程 $2x^2 + 4x + 5 = 0$。

解：

1. 标准形式中，$a=2, b=4, c=5$。
2. 计算判别式：$\Delta = 4^2 - 4 \times 2 \times 5 = 16 - 40 = -24 < 0$。
3. 因为判别式小于0，该方程在实数范围内无解（初中阶段结论）。
4. 所以，原方程无实数根。

• 符号错误：在代入 $-b$ 或 $c$ 时忽略负号。例如方程 $x^2 - 3x - 4 = 0$ 中，$b = -3$，所以 $-b = 3$，不是 $-3$。
• 忘记化为标准形式：必须先把方程整理成 $ax^2 + bx + c = 0$ 再找系数，否则会出错。
• 判别式计算错误：尤其是 $-4ac$ 部分，若 $c$ 为负，容易漏掉负负得正。
• 开平方出错：如 $\sqrt{16} = 4$，不是 $\pm4$，因为公式中已有 $\pm$ 符号。
• 误认为 $\Delta < 0$ 有实数解：初中阶段，判别式小于0说明方程在实数范围内无解，不要强行写答案。