我们希望这个和能“裂项相消”。真的希望它能裂项相消。

先试试把前几项加起来。（无穷级数的前几项之和叫作“部分和”。）例如，把前三项加起来，得到一个分数，它的分母是

$$(5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1).$$

我们可以用$5 - 1$乘它，让这个乘积整齐地化简：

$$\begin{aligned} (5 - 1)(5 + 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1) &= (5^2 - 1)(5^2 + 1)(5^4 + 1) \\ &= (5^4 - 1)(5^4 + 1) \\ &= 5^8 - 1. \end{aligned}$$

更一般地，如果把级数的前$n$项相加，可以得到一个分母为$5^{2^n} - 1.$的分数。下一项的分母是$5^{2^n} + 1.$。因为希望和能裂项相消，我们考虑差式

$$\frac{1}{5^{2^n} + 1} - \frac{1}{5^{2^n} - 1} = \frac{2}{5^{2^{n + 1}} - 1}.$$

两边同乘$2^n,$，得

$$\frac{2^n}{5^{2^n} + 1} - \frac{2^n}{5^{2^n} - 1} = \frac{2^{n + 1}}{5^{2^{n + 1}} - 1}.$$

所以

$$\frac{2^n}{5^{2^n} + 1} = \frac{2^n}{5^{2^n} - 1} - \frac{2^{n + 1}}{5^{2^{n + 1}} - 1}.$$

于是原级数裂项相消如下：

$$\begin{aligned} \frac{1}{5 + 1} + \frac{2}{5^2 + 1} + \frac{4}{5^4 + 1} + \dotsb &= \left( \frac{1}{5 - 1} - \frac{2}{5^2 - 1} \right) + \left( \frac{2}{5^2 - 1} - \frac{4}{5^4 - 1} \right) + \left( \frac{4}{5^4 - 1} - \frac{8}{5^8 - 1} \right) + \dotsb \\ &= \boxed{\frac{1}{4}}. \end{aligned}$$